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Ponto mais próximo e distância a um segmento 3D
Onde fica o ponto mais próximo do teu segmento 3D finito e a que distância está do teu ponto?
Introduza os extremos A e B e um ponto P. Encontre o ponto mais próximo Q, a sua posição de A para B e a distância em linha reta P–Q.
O seu segmento e ponto
Use os mesmos eixos cartesianos perpendiculares, com igual escala e uma unidade comum para A, B e P. Introduza frações como decimais, não a/b. A ordem dos extremos mantém-se. São válidos segmentos verticais, horizontais e reduzidos a um ponto.
Como funciona a estimativa
Sejam d = B − A e u = P − A. Para extremos distintos, w = d·d > 0 e t = min(1, max(0, (u·d)/w)). Q = A + t d; a distância é √((Px − Qx)² + (Py − Qy)² + (Pz − Qz)²). t = 0 corresponde a A e t = 1 a B. O quadrado da distância a A + t d é uma função quadrática com mínimo sem restrições em (u·d)/w; restringir t a [0,1] dá o mínimo no segmento finito. Se A = B, Q = A e escolhemos t = 0 por convenção. A distância exige sempre as nove coordenadas; num segmento não degenerado, t, Q e a localização também as exigem. Com extremos coincidentes conhecidos, t = 0, Q e o estado degenerado continuam conhecidos mesmo com P inválido; os seus erros ficam visíveis e a distância permanece desconhecida. Usam-se frações decimais exatas dos valores numéricos aceites antes do arredondamento final, sem reutilizar t ou Q arredondados.
d = B − A; u = P − A; w = d · d
w > 0: t = min(1, max(0, (u · d) ÷ w))
Q = A + t d; |P − Q| = √((Px − Qx)² + (Py − Qy)² + (Pz − Qz)²)
A = B: Q = A; t = 0Apenas um ponto e um segmento reto finito fechado no espaço euclidiano tridimensional; os dois extremos pertencem-lhe. Extremos coincidentes e um ponto no segmento são válidos; um ponto nele tem distância zero. Não calcula distância a reta infinita, semirreta, linha poligonal, curva, superfície, sólido ou malha, local geográfico nem por estrada. Sem gráfico, conversão de unidades, validação de medições, estimativa de incerteza ou garantia de ajuste físico ou segurança. As comparações exatas dos valores aceites não usam tolerância perto de zero e não provam propriedades de objetos medidos.
CGAL: segmento 3D fechado e extremos coincidentes ↗OpenStax: produto escalar e projeção vetorial ↗
Verificar o exemplo
O nosso exemplo escolhido: A = (−2, 1, −1), B = (4, 1, 3), P = (−1, 3, 4). d = (6, 0, 4), u = (1, 2, 5), u·d = 26 e d·d = 52. Assim, t = 0,5, Q = (1, 1, 1) fica no interior e P–Q = √17 ≈ 4,12311 unidades de coordenadas. São coordenadas matemáticas de exemplo, não medidas nem dimensões recomendadas.
Valores de entrada aceites
- Extremo A: coordenada x
- -2
- Extremo A: coordenada y
- 1
- Extremo A: coordenada z
- -1
- Extremo B: coordenada x
- 4
- Extremo B: coordenada y
- 1
- Extremo B: coordenada z
- 3
- Ponto P: coordenada x
- -1
- Ponto P: coordenada y
- 3
- Ponto P: coordenada z
- 4
O próximo passo
Use a calculadora normal para operações separadas. Verifique a ordem dos extremos, os eixos escolhidos e a consistência das unidades antes de interpretar a geometria.
Abrir a calculadora normal →