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Ponto mais próximo e distância a um segmento
Onde está o ponto mais próximo no seu segmento finito e a que distância fica do seu ponto?
Introduza os extremos A e B e um ponto P. Encontre o ponto mais próximo Q, a sua posição de A para B e a distância em linha reta P–Q.
O seu segmento e ponto
Use os mesmos eixos cartesianos perpendiculares, com igual escala e uma unidade comum para A, B e P. Introduza frações como decimais, não a/b. A ordem dos extremos mantém-se. São válidos segmentos verticais, horizontais e reduzidos a um ponto.
Como funciona a estimativa
Sejam d = B − A e u = P − A. Para extremos distintos, w = d·d > 0 e t = min(1, max(0, (u·d)/w)). Q = A + t d; a distância é √((Px − Qx)² + (Py − Qy)²). t = 0 corresponde a A e t = 1 a B. O quadrado da distância a A + t d é uma função quadrática com mínimo sem restrições em (u·d)/w; restringir t a [0,1] dá o mínimo no segmento finito. Se A = B, Q = A e escolhemos t = 0 por convenção. A distância exige sempre as seis coordenadas; num segmento não degenerado, t, Q e a localização também as exigem. Com extremos coincidentes conhecidos, t = 0, Q e o estado degenerado continuam conhecidos mesmo com P inválido; os seus erros ficam visíveis e a distância permanece desconhecida. Usam-se frações decimais exatas dos valores numéricos aceites antes do arredondamento final, sem reutilizar t ou Q arredondados.
d = B − A; u = P − A; w = d · d
w > 0: t = min(1, max(0, (u · d) ÷ w))
Q = A + t d; |P − Q| = √((Px − Qx)² + (Py − Qy)²)
A = B: Q = A; t = 0Apenas um ponto e um segmento reto finito fechado num plano euclidiano bidimensional; os dois extremos pertencem-lhe. Extremos coincidentes e um ponto no segmento são válidos; um ponto nele tem distância zero. Não calcula distância a reta infinita, semirreta, linha poligonal, curva, objeto 3D, local geográfico nem por estrada. Sem gráfico, conversão de unidades, validação de medições, estimativa de incerteza ou garantia de ajuste físico ou segurança. As comparações exatas dos valores aceites não usam tolerância perto de zero e não provam propriedades de objetos medidos.
CGAL: segmento plano fechado e extremos coincidentes ↗OpenStax: produto escalar e projeção vetorial ↗
Verificar o exemplo
O nosso exemplo escolhido: A = (−2, 1), B = (4, 1), P = (1, 5). d = (6, 0), u = (3, 4), u·d = 18 e d·d = 36. Assim, t = 0,5, Q = (1, 1) fica no interior e P–Q = 4 unidades de coordenadas. São coordenadas matemáticas de exemplo, não medições ou dimensões recomendadas.
Valores de entrada aceites
- Extremo A: coordenada x
- -2
- Extremo A: coordenada y
- 1
- Extremo B: coordenada x
- 4
- Extremo B: coordenada y
- 1
- Ponto P: coordenada x
- 1
- Ponto P: coordenada y
- 5
O próximo passo
Use a calculadora normal para operações separadas. Verifique a ordem dos extremos, os eixos escolhidos e a consistência das unidades antes de interpretar a geometria.
Abrir a calculadora normal →