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Kreuzprodukt in 3D und Parallelogrammfläche
Wie lauten das geordnete Kreuzprodukt deiner beiden Raumvektoren und die von ihnen aufgespannte Fläche?
Gib die sechs Komponenten von u und v ein. Berechne die drei Komponenten von u × v und seinen Betrag, der dem Flächeninhalt des Parallelogramms mit u und v als benachbarten Seiten entspricht.
Deine beiden Raumvektoren
Verwende dieselben rechtshändigen, senkrechten kartesischen Achsen mit gleichem Maßstab und einer gemeinsamen Längeneinheit. Gib Dezimalbrüche statt a/b ein. Die Reihenfolge ist wichtig: berechnet wird u × v. Nullvektoren sind gültig.
So entsteht die Schätzung
Cx = uy·vz − uz·vy; Cy = uz·vx − ux·vz; Cz = ux·vy − uy·vx. Betrag und Fläche sind √(Cx² + Cy² + Cz²). Jede Komponente benötigt ihre vier zugehörigen Eingaben, auch neben einem Nullfaktor. Fläche und Null-/Nichtnullstatus benötigen alle sechs. Eine ungültige, dafür nicht verwendete Komponente verdeckt kein unabhängig bekanntes Ergebnis. Exakte Dezimalbrüche der angenommenen Zahlenwerte werden vor der abschließenden Rundung verwendet; gerundete Produktkomponenten fließen nicht erneut in Fläche oder Status ein. Das Vertauschen von u und v kehrt das Vorzeichen des Produkts um und erhält die Fläche.
u = (ux, uy, uz); v = (vx, vy, vz)
Cx = uy·vz − uz·vy
Cy = uz·vx − ux·vz
Cz = ux·vy − uy·vx
|u × v| = √(Cx² + Cy² + Cz²)Nur zwei angegebene reelle Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Raum mit den genannten Achsen und Einheiten. Für die Fläche gelten sie als benachbarte Seiten mit gemeinsamem Anfangspunkt. Das Produkt folgt der Rechte-Hand-Regel und ist nicht normiert. Keine Ableitung von Vektoren aus Punkten, Einheitsnormale, Winkel, Skalarprodukt, Projektion, Dreiecksfläche, Produkte in höheren Dimensionen oder geografischen Ergebnisse. Kein Diagramm, keine Einheitenumrechnung, Drehmoment- oder sonstige physikalische Modellierung, Messwertprüfung, Unsicherheitsabschätzung oder Passform-/Sicherheitsgarantie. Der exakte Nullvergleich nutzt angenommene Werte ohne Toleranz und beweist keine Eigenschaften gemessener Objekte.
OpenStax: Kreuzprodukt, Rechte-Hand-Regel und Parallelogrammfläche ↗Das Beispiel prüfen
Unser gewähltes Beispiel: u = (2, −1, 2), v = (1, 2, 0). Dann ist u × v = (−4, 2, 5); Betrag und Parallelogrammfläche sind √(16 + 4 + 25) = √45 ≈ 6,7082 quadrierte Koordinateneinheiten. Dies sind mathematische Beispielwerte, keine gemessenen oder empfohlenen Abmessungen.
Übernommene Eingabewerte
- Vektor u: x-Komponente
- 2
- Vektor u: y-Komponente
- -1
- Vektor u: z-Komponente
- 2
- Vektor v: x-Komponente
- 1
- Vektor v: y-Komponente
- 2
- Vektor v: z-Komponente
- 0
Der nächste Schritt
Nutze den Standardrechner für einzelne Rechenschritte. Prüfe Vektorreihenfolge, rechtshändige Achsenorientierung und gemeinsame Einheiten vor der Deutung des Ergebnisses.
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