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Nächster Punkt und Abstand zu einer Strecke

Wo liegt der nächste Punkt auf deiner endlichen Strecke, und wie weit ist dein Punkt davon entfernt?

Gib die Endpunkte A und B sowie einen Punkt P ein. Berechne den nächsten Punkt Q, seine Position von A nach B und den geradlinigen Abstand P–Q.

Deine Strecke und dein Punkt

Verwende dieselben senkrechten kartesischen Achsen mit gleichem Maßstab und eine gemeinsame Koordinateneinheit für A, B und P. Brüche als Dezimalzahlen eingeben, nicht a/b. Die Reihenfolge der Endpunkte bleibt erhalten. Senkrechte, waagerechte und zu einem Punkt zusammengefallene Strecken sind zulässig.

Endpunkt A: x-KoordinateEndpunkt A: y-KoordinateEndpunkt B: x-KoordinateEndpunkt B: y-KoordinatePunkt P: x-KoordinatePunkt P: y-Koordinate

So entsteht die Schätzung

Mit d = B − A und u = P − A gilt für verschiedene Endpunkte w = d·d > 0 und t = min(1, max(0, (u·d)/w)). Q = A + t d; der Abstand ist √((Px − Qx)² + (Py − Qy)²). t = 0 steht für A, t = 1 für B. Das Abstandsquadrat zu A + t d ist eine quadratische Funktion mit unbeschränktem Minimum bei (u·d)/w; die Beschränkung auf [0,1] liefert das Minimum auf der endlichen Strecke. Bei A = B ist Q = A; t = 0 wählen wir als Konvention. Für den Abstand sind immer alle sechs Koordinaten nötig, bei einer nicht entarteten Strecke auch für t, Q und die Lage. Sind zusammenfallende Endpunkte bekannt, bleiben t = 0, Q und der entartete Zustand auch bei ungültigem P bekannt; dessen Fehler bleiben sichtbar und der Abstand unbekannt. Exakte Dezimalbrüche der akzeptierten Zahlen werden vor der abschließenden Rundung verwendet. Gerundetes t oder Q wird nicht weiterverwendet.

d = B − A; u = P − A; w = d · d
w > 0: t = min(1, max(0, (u · d) ÷ w))
Q = A + t d; |P − Q| = √((Px − Qx)² + (Py − Qy)²)
A = B: Q = A; t = 0

Nur ein Punkt und eine endliche abgeschlossene gerade Strecke in einer zweidimensionalen euklidischen Ebene; beide Endpunkte gehören dazu. Zusammenfallende Endpunkte und ein Punkt auf der Strecke sind gültig; ein Punkt auf ihr hat Abstand null. Kein Abstand zu einer unendlichen Geraden, einem Strahl, Polygonzug, einer Kurve, einem 3D-Objekt, geografischen Ort oder entlang einer Straße. Kein Diagramm, keine Einheitenumrechnung, Messwertprüfung, Unsicherheitsschätzung oder Garantie für physische Passung und Sicherheit. Exakte Vergleiche akzeptierter Zahlen verwenden keine Toleranz um null und beweisen keine Eigenschaften gemessener Objekte.

CGAL: abgeschlossene ebene Strecke und gleiche Endpunkte ↗
OpenStax: Skalarprodukt und Vektorprojektion ↗

Das Beispiel prüfen

Unser gewähltes Beispiel: A = (−2, 1), B = (4, 1), P = (1, 5). d = (6, 0), u = (3, 4), u·d = 18 und d·d = 36. Damit ist t = 0,5, Q = (1, 1) liegt im Inneren und P–Q = 4 Koordinateneinheiten. Das sind mathematische Beispielkoordinaten, keine Messwerte oder empfohlenen Abmessungen.

Übernommene Eingabewerte

Endpunkt A: x-Koordinate: -2
Endpunkt A: y-Koordinate: 1
Endpunkt B: x-Koordinate: 4
Endpunkt B: y-Koordinate: 1
Punkt P: x-Koordinate: 1
Punkt P: y-Koordinate: 5

Der nächste Schritt

Nutze für einzelne Rechenschritte den normalen Rechner. Prüfe Endpunktreihenfolge, gewählte Achsen und einheitliche Einheiten, bevor du die Geometrie deutest.

Normalen Rechner öffnen →