LifeTally
Abstand eines Punktes von einer Ebene und Lotfußpunkt in 3D
Wie weit ist dein Punkt von der Ebene entfernt, und wo liegt der Lotfußpunkt?
Gib die Ebene Ax + By + Cz = D und den Punkt P ein, um den Abstand und die drei Koordinaten des nächsten Punktes Q zu berechnen.
Deine Ebene und dein Punkt
D steht rechts in Ax + By + Cz = D. Verwende dieselben senkrechten kartesischen Achsen mit gleichem Maßstab und einheitlichen Koordinateneinheiten. Alle sieben angenommenen Werte sind erforderlich, auch wenn ein Koeffizient null ist.
So entsteht die Schätzung
Der Normalenvektor ist N = (A, B, C). Mit S = A² + B² + C² und r = A·Px + B·Py + C·Pz − D ist Q = P − (r/S)N der nächste Punkt; der Abstand beträgt √(r²/S). Q liegt auf der Ebene, und P − Q steht senkrecht auf ihr. Liegt P bereits auf der Ebene, beträgt der Abstand null, und Q = P.
Ax + By + Cz = D; N = (A, B, C)
S = A² + B² + C²; r = A·Px + B·Py + C·Pz − D
Q = P − (r ÷ S)N; d = √(r² ÷ S)Nur ein Punkt und eine vollständige unendliche euklidische Ebene aus ihren Koeffizienten. Kein Abstand zu einer begrenzten Fläche, einem Dreieck, Polygon, einer Strecke, gekrümmten Fläche, einem Körper oder Netz. Keine vorzeichenbehafteten Abstände, Seitenklassifikation, Ebenenanpassung, Grafik, geografischen Koordinaten, Einheitenumrechnung, Messprüfung, Unsicherheitsabschätzung, Kollisionsprüfung oder Zusicherung von Passung oder Sicherheit. Prüfe, ob alle vier Koeffizienten die gewünschte Gleichung in den gewählten Koordinateneinheiten beschreiben.
OpenStax: Ebenengleichungen und senkrechter Abstand ↗Das Beispiel prüfen
Unser gewähltes Beispiel: Ebene 2x − y + 2z = 6 und P = (4, 1, 4). S = 9, r = 9 und r/S = 1. Damit sind Q = (2, 2, 2) und der Abstand 3. Einsetzen ergibt 2·2 − 2 + 2·2 = 6. Dies sind mathematische Beispielwerte, keine gemessenen oder empfohlenen Maße.
Übernommene Eingabewerte
- Ebene: A, Koeffizient von x
- 2
- Ebene: B, Koeffizient von y
- -1
- Ebene: C, Koeffizient von z
- 2
- Ebene: D, rechte Seite
- 6
- Punkt P: x
- 4
- Punkt P: y
- 1
- Punkt P: z
- 4
Der nächste Schritt
Prüfe einzelne Rechenschritte mit dem Standardrechner. Kontrolliere vor der Deutung des Ergebnisses die Ebenengleichung, die Achsen und die Koordinateneinheiten.
Standardrechner →